古戈尔（一支庞大的外星舰队）

古戈尔（一支庞大的外星舰队）

其实我们并不理解这些数字到底意味着什么。

——戴维斯·托克曼

道格拉斯·亚当斯在经典著作《银河系搭车客指南》中讲过一个故事——一支庞大的外星舰队前来袭击地球，结果他们发现自己在尺度上犯了一个致命的错误。这支大军刚在公园里着落，就被一条小狗吃掉了。

这则故事简直让人笑喷，同时也让我们对尺度有了新的认识和思考。

刚开始学习自然数的小朋友经常喜欢比谁说的数大。

小朋友学了100以内的数，如果一个说“我有99个XXX”，另一个则会说“我有100个XXX”。

而当他们学了千、万、亿之后，就会觉得一万、一亿是非常大的数。

再往后，等他们对位值制有了懵懵懂懂的认知后，大概会这么说：1后面100个0......

1后面100个0，这随口一说的数，其实还有个学名，叫古戈尔（googol)。这个数的由来可是有典故的。

1938年，数学家爱德华·卡斯纳让9岁的侄子米尔顿给一个大得不可思议的数取个名字。米尔顿当时就回答说叫古戈尔，并且把它定义为1后面100个0。

这个数写成指数的形式就是10100。

事实上，这个数已经相当大了，比宇宙中已知的粒子个数还要多。但这个9岁的孩子显然还不满足，他又提出一个新的数，称为古戈尔普勒克斯(googolplex)。一开始，孩子希望把这个数定义为“写零写到手酸”，但他后来决定将它标准化，定义为：1后面古戈尔个零。

从这个小小的变化，我们可以看出米尔顿的数学天赋。要知道，“写零写到手酸”可只是一个模糊的用语，在数学上是非常不严谨的。就像很多孩子会蹦出“无穷”这个数，而他们口中的无穷只是一个模糊的概念。但是米尔顿随后精确定义的googolplex，则体现了数学的严谨性。

古戈尔已经足以涵盖宇宙了，那1后面古戈尔个零到底有多大呢？

googolplex，用数学来定义，其实也就是下面这个数：

但是，这个数远远超出了我们人类的想象极限。

我们不妨来看两个“更小”的数：

我们知道，44=256，是我们能感知的数，后面这个数看起来好像也不大，会是44的多少倍呢？而事实是：

看到没，这竟然是比古戈尔还大很多很多的数！

很多人都知道下面这个古老的故事。

一位国王打算赏赐一位大臣，说他想要什么都可以满足他。这个大臣说，没有什么特别的要求，只希望在国际象棋的第一个格子里放1粒米，第二个格子里放2粒米，第三个格子里放4粒米，第四个格子里放8粒米，依此类推，直到放满64个格子的米。

这个要求看上去并不苛刻，国王很爽快地答应了。然而，这位国王显然不知道指数增长的威力。

这个故事很好地诠释了指数式增长到底有多么恐怖。而我们上面给的例子则比指数增长更为恐怖，被称为“超幂”。

2021年第一天，有人在群里探讨时间尺度的问题：在地质时钟上，人类意识仅在午夜的最后一分钟才出现。

其实，这句话蕴含的就是时间尺度的问题。我们人类觉得几千年甚至上百万年很长，但相对于地球的演化来说，只是一瞬间。一个严谨的群友有还专门为此手绘了一个地质时钟。

其实，不仅仅是时间，包括距离、温度、声音、光谱，人类能感知的尺度都比宇宙的尺度要小得多。虽然人类知道世界的基准并不是人类尺度，但他们希望是。关于此，我写过一篇文章《人类尺度 vs 宇宙尺度》，感兴趣的朋友可以读一下。

说到这儿，我突然想起自己之前读过一本非常好的介绍宇宙尺度的书，名叫《宇宙的尺度：从无穷大到无穷小》。这本书以上帝的视角介绍了超越人类感知的数字、尺寸、光、声、热和时间。无论孩子还是大人，都能从中感受到宇宙和大自然的美和浩渺，而人类真的连大海里的一粒沙子都算不上。