牛顿第二定律习题（运用系统牛顿第二定律快速解题）

任何两个或几个物体都可以看作整体，加速度可以相等，也可以不等。

整体法优点是不需要考虑内力，因为内力之和为零。

若用系统动能定理，要考虑内力的功，内力的功之和不一定为零。

若系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为m₁，m₂，m₃...mₙ，加速度分别a₁，a₂，a₃...aₙ，这个系统受到合外力为F合，则这个系统应用牛顿第二定律的表示式为：

系统牛顿第二定律

其正交表示式为：

系统牛顿第二定律正交分解式

‍与采用隔离法分别对每一物体应用牛顿第二定律求解不同的是，应用系统的牛顿第二定律解题时将使得系统内物体间的相互作用力变成内力，因而可以减少不必求解的物理量的个数，导致所列方程数减少，从而达到简化求解的目的。

一：一静一动型

例：如下图所示，静止于粗糙的水平面上的斜劈A的斜面上，一物体B沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小为a，那么，斜劈受到的水平面的支持力和静摩擦力的大小与方向怎样？

方法一:（隔离法）

隔离法就是每个物体单独分析，利用牛顿第三定律求解，这里不再叙述。

方法二：（整体法）

解析：把A和B看作一个系统，在竖直方向受到向下的重力和竖直向上的支持力，在水平方向受到的摩擦力的方向未定。劈A的加速度，物体B的加速度沿斜面向下，将加速度a分解成水平分量和竖直分量，如图所示，

对A、B整体的水平方向运用牛顿第二定律有，

水平方向：

f=maₘₓ+Maᴍₓ=maₘₓ+0

f=macosθ(方向水平向左)

竖直方向：

(M+m)g-Fɴ=maₘᵧ+Maᴍᵧ

Fɴ=(M+m)g-maₘᵧ-Maᴍᵧ

Fɴ=(M+m)g-maₘᵧ-0

Fɴ=(M+m)g-masinθ

斜面体B有向右运动的趋势。

【练习】如图所示，

斜面体质量为M，倾角为θ，置于水平地面上，当质量为m的小木块沿斜面体的光滑斜面自由下滑时，斜面体仍静止不动，则（ ）

A.斜面体受地面的支持力为Mg

B.斜面体受地面的支持力为（m＋M）g

C.斜面体受地面的摩擦力为 mgcosθ

D.斜面体受地面的摩擦力为 ½mgsin2θ

【练习】一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M，环的质量为m，如图所示.

已知重力加速度为g，环沿杆以加速度a匀加速下滑，则此时箱子对地面的压力大小为（A）

A. Mg ＋mg-ma

B. Mg-mg ＋ma

C. Mg ＋mg

D. Mg-mg

【练习】如图所示，

质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动.A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点.小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，重力加速度为g，则物体M对地面的压力Fɴ和地面对M的摩擦力有关说法正确的是（B）

A.小滑块在A点时，Fɴ＞Mg，摩擦力方向向左

B.小滑块在B点时，Fɴ＝Mg，摩擦力方向向右

C.小滑块在C点时，Fɴ＝（M＋m）g，M与地面无摩擦

D.小滑块在D点时，Fɴ＝（M＋m）g，摩擦力方向向左

【练习】如图，

在倾角为a的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。已知木板的质量是猫的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为（C）。

A.（gsinα）/2

B.gsinα

C.（3gsin α）/2

D: 2gsinα

【练习】如图，

质量为m的木块在质量为M的木板上滑行，木板与地面间动摩擦因数为μ₁，木块与木板间的动摩擦因数为μ₂，木板一直静止，那么木板受地面的摩擦力大为μ₂mg。

二：二动型

例：如图所示，

三角形物块质量为3m，α＝30°，β＝60°，置于粗糙水平面上，两斜面光滑，其顶部安有一轻小滑轮.小物体A、B质量分别为m和2m，用细线绕过滑轮相连接并用手按住.求放手后A、B均在斜面上运动时，地面对三角形物块的支持力和摩擦力（三角形物块始终静止）A、B的加速度分别为aᴀ、aʙ，aᴀ＝aʙ＝a

对于A、B系统，依牛顿第二定律有:

2mgsin60°- mgsin30°＝3ma.

∴a＝（2√3-1）g/6

把A、B的加速度分别沿水平方向和竖直方向分解.

aᴀₓ＝acos30°＝√3a/2，水平向右；

aʙₓ＝acos60°＝a/2，水平向右；

aᴀᵧ＝asin30°＝a/2，竖直向上；

aʙᵧ＝acos30°＝√3a/2，竖直向下

设地面对三角形物块的摩擦力为f，支持力为FN，对A、B及三角形物块组成的系统.依牛顿第二定律，并以水平向右和竖直向上为正方向，有:

f＝maᴀₓ＋2maʙₓ＋3m×0，

Fɴ-6mg-maᴀᵧ -2maʙᵧ ＋3m×0，

解得f＝0.77mg，方向水平向右

Fɴ＝5.5mg，方向竖直向上.

例：如图所示，

一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块，已知两斜面都是光滑的。现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于（ ）

A. Mg＋mg

B. Mg＋2mg

C.Mg＋mg （sinα＋sinβ）

D.Mg＋mg （cosα＋cosβ）

【解析】隔离法：由于斜面光滑，两个木块均匀加速下滑，分别对两个物体进行受力分析，求出其对斜面体的压力，再对斜面体受力分析，求出地面对斜面体的支持力，然后根据牛顿第三定律得到斜面体对地面的压力。

对木块a进行受力分析，如图，

受重力和支持力作用，由几何关系，得到

N₁＝mgcosα

故物体a对斜面体的压力为

N₁′＝mgcosα

同理，物体b对斜面体的压力为

N₂′＝mgcosβ

对斜面体受力分析，如图，

根据共点力平衡条件，得到: N₂′cosα-N₁cosβ＝0

F支-Mg-N₁′sinβ-N₂′sinα＝0

根据题意有:

α＋β＝90°

联立式解得

F支＝Mg＋mg

根据牛顿第三定律，斜面体对地的压力等于Mg＋mg

【拓展】

①求地面对斜面体的摩擦力

②应用整体法求解

【练习】如图所示，

在水平面上有一个质量为M的楔形木块A，其斜面倾角为α，一质量为m的木块B放在A的斜面上，现对A施以水平推力F，恰使B与A不发生相对滑动.忽略一切摩擦，则B对A的压力大小为（ BD）

A. mgcosα

B.mg/cosα

C.MF/（M＋m）cosα

D.mF/（M＋m）sinα

例：如图所示，

该装置叫做阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律．绳子两端的物体竖直运动的加速度大小总是小于自由落体的加速度g，同自由落体相比，下落相同的高度，所花费的时间要长，这使得实验者有较长的时间从容的观测、研究．已知物体A、B的质量相等均为M，轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，轻绳不可伸长且足够长，求：

（1）若物体C的质量为¼M，物体B从静止开始下落一段距离的时间与自由落体下落同样的距离所用时间的比值．

（2）如果连接AB的轻绳能承受的最大拉力为1.2Mg，那么对物体C的质量有何要求？

【练习】

水平面上静止放置一质量为M的木箱，箱顶部和底部用细线分别拴住质量均为m的小球，两球间有一根处于拉伸状态的轻弹簧，使两根细线均处于拉紧状态，如图所示。

现在突然剪断下端的细线，则从剪断细线开始到弹簧恢复原长以前，箱对地面的压力变化情况，下列判断正确的是（B）

A.刚剪断细线瞬间，压力突然变大，以后箱对地面压力逐渐增大

B.刚剪断细线瞬间，压力突然变大，以后箱对地面压力逐渐减小

C.刚剪断细线瞬间，压力突然变小，以后箱对地面压力逐渐减小

D.刚剪断细线瞬间，压力突然变小，以后箱对地面压力逐渐增大

【练习】光滑绝缘的水平面上，放着三个质量都是m的带电小球A，B，C，如图所示，

小球之间距离都是L.已知A，B两球带等量电荷＋q，现给C球一个外力F，使三个小球在运动中保持距离不变，则：

（1）C球带何种电荷？电荷量多少？

（2）外力F的大小和方向如何？

应用情景

１．已知系统内各物体的加速度，求某个外力．

２．已知系统内的各物体受外力情况，求某个物体的加速度．

运用系统牛顿运动定律需把握三个关键步骤：

（1）正确分析系统受到的外力。

（2）正确分析系统内各个物理的加速度大小和方向。

（3）确定正方向，建立直角坐标系，列方程进行求解。

综上所述，用系统的牛顿第二定律处理连接体、尤其是加速度不同的连接体的动力学问题，对提高学生的解题速度、解题能力、思维品质，往往能收到事半功倍的效果。